Как понять алгебру. Алгебраические уравнения с ответами и решениями - Джеймс Уэллс
Чтобы исключить один неизвестный член уравнения, например X, вы должны получить одно и то же число перед X в первом и во втором уравнении. А для того чтобы исключить Y вы должны получить одно и то же число перед Y в первом и втором уравнении. В нашем случае перед Y у вас есть -1 в первом уравнении и -2 во втором уравнении.
Чтобы получить -2Y в первом уравнении, вы должны умножить обе части уравнения на два. Тогда вы получите:
2Х — 2У = 6
3Х — 2У = 4
Умножьте обе части уравнения -X = 2 на -1
(-Х) (-1) = 2 (-1)
тогда Х = — 2
Поставьте -2 вместо X в любом исходном уравнении.
— 2 — У = 3
Прибавьте 2 к обеим частям уравнения
— 2 — У +2 = 3 +2
— У = 5
Умножьте обе части уравнения на — 1
— Y * (-1) = 5 * (-1)
У = — 5
Вы можете проверить свой результат. Поставьте -2 вместо X и -5 вместо Y в оба уравнениях:
Проверьте первое уравнение:
1. Х — У = 3
— 2 — (- 5) = 3
— 2 +5 = 3
3 = 3
Проверьте второе уравнение:
2. 3X — 2Y = 4
3* (- 2) — 2* (- 5) = 4
— 6 +10 = 4
4 = 4
Давайте решим эти уравнения с помощью графиков.
Первое уравнение X — Y = 3
Приведите уравнение к общему виду: Y = aX + b
Вычтите Х из обеих частей уравнения:
Х — Х — У = 3 — Х
— Y = 3 — X умножить обе части на -1
У = Х — 3
Найдите две точки, чтобы начертить первую линию. Присвойте любое значение X и вычислите значение Y.
Х = 0; Y (0) = 0 — 3 = — 3
Х = 3; Y (3) = 3 — 3 = 0
Второе уравнение 3X — 2Y = 4
Приведите уравнение к общему виду. Вычтите 3X с обеих сторон.
3X — 3X — 2Y = 4 — 3X
-2Y = 4 — 3X
Разделите каждый член уравнения на -2
— 2Y/ (-2) = 4/ (-2) — 3X/ (-2)
Y = — 2 +3X/2
Поменяйте порядок членов в правой части уравнения
Y = 3X/2 — 2
Найдите две точки, чтобы начертить вторую линию. Присвойте любое значение X и вычислите значение Y.
Найдем чему равен Y при X = 4;
X = 4; Y (4) = 3*4/2 — 2 = 6 — 2 = 4
Найдем чему равен Y при X = 2;
X = 2; Y (2) = 3*2/2 — 2 = 3 — 2 = 1
График3. Точка пересечения линий: X= -2, Y= -5.
Практика 6. Решение уравнений
1. X + Y = 1
X — Y = — 5
2. X + Y = 1
2X — 2Y = 6
3. X +2Y = 1
2X + Y = — 4
4. 2X + Y = 5
X +3Y = 0
5. 3X — Y = 5
4X +2Y = 10
6. 4X +2Y = 10
4X — 2Y = 6
7. X — Y = 1.5
7X +2Y=6
8. 3X + Y = 9
X — 3Y = 3
9. 5X — 2Y = -7
X +3Y= 2
10. 9X +3Y = 12
X — 2Y = — 1
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Рассмотрим следующее уравнение:
6Х^2 +3Х — 3 = 0
Х^2 здесь и далее означает Х в квадрате.
Выразите левую часть уравнения в виде произведения двух двучленов. Для этого разложите первый и последний члены уравнения на множители. Разложите 6X^2 на множители.
Вы можете выразить 6X^2 как 3X * 2X.
Затем вы можете выразить -3 как 1 (-3) или 3 (-1)
Тогда:
6Х^2 +3Х — 3= (2Х — 1) (3Х +3)
Вы можете проверить, равно ли выражение в левой части уравнения выражению в правой части.
6X^2 +3X — 3 = (2X — 1) (3X +3)?
Умножьте (2X — 1) на (3X +3), и вы получите
6X^2 +6X — 3X — 3 или 6X^2 +3X — 3
Два выражения равны. Теперь вы можете написать
(2Х — 1) (3Х +3) = 0
Если произведение двух двучленов равно 0, то каждый из них может быть равен 0.
(2Х — 1) = 0 и (3Х +3) = 0
Решите первое уравнение:
Прибавьте 1 к обеим частям уравнения
2X -1 +1 = 0 +1
2Х = 1
Разделите обе части уравнения на 2:
2X/2 = 1/2, тогда X = 0,5
Решите второе уравнение: (3X +3) = 0
Вычтите -3 из обеих частей уравнения.
3Х +3 — 3 = 0 — 3
3Х =- 3
Разделите обе части уравнения на 3:
3Х/3 = -3/3
и Х = — 1
Чтобы проверить свое решение, подставьте каждый результат в исходное уравнение.
Исходное уравнение: 6X^2 +3X — 3=0.
6 * (0,5) (0,5) +3 (0,5) — 3 = 0
1,5 +1,5 — 3 = 0
3 — 3 = 0
Это же уравнение можно решить другим способом.
Представьте 6X^2 как 6X * X
Тогда 6X * X +3X — 3 = 0
Разложите многочлен на множители:
(6Х — 3) (Х +1) = 0
Вы можете проверить:
(6Х — 3) (Х +1) = 6Х^2 +6Х — 3Х — 3=
= 6Х^2 +3Х — 3
Вы получили исходное уравнение. Давайте решим это.
(6Х — 3) = 0
Прибавьте 3 к обеим частям уравнения.
6Х — 3 +3 = 0 +3
6Х = 3
Разделите каждую часть уравнения на 6
6Х/6 = 3/6
Х = 0,5
так как (6X — 3) (X +1) = 0
(Х +1) = 0
Решите это уравнение, вычитая 1 из обеих частей уравнения
Х +1 — 1 = 0 -1
Х = -1
Вы получите те же результаты.
Мы можем решить это уравнение с помощью формулы:
X = [-b +/- sqrt (b^2 — 4ac)] / 2a
sqrt [] — здесь и далее означает квадратный корень.
6X^2 +3X — 3 = 0
a = 6 (a number in front of X)
b=3 (b number in front of Y)
c=-3 (a number without X or Y)
X = [-b +/- sqrt (b^2 — 4ac)] /2a
X= [-3 +/- sqrt (3^2 — 4*6* (-3))] /2*6
X= [-3 +/- sqrt (9 — (-72)] /12
X = [-3 +/- sqrt (9 +72)] /12
X = [-3 +/- sqrt (81)] /12
X = (-3 +/- 9) /12
X = (-3 -9) /12 = -12/12 = -1
X = (-3 +9) /12 = 6/12 = 0.5
Мы получили тот же результат: X = -1 и X = 0,5.
Практика 7. Решение квадратных уравнений
1. 3X^2—75=0
2.2X^2—9X +4 = 0
3.3X^2 -5X -2=0
4. 4X^2—13X +3 = 0
5.7X^2 — 29X +4 =0
6. 5X^2 — 28X +15=0
7. 18X^2 +12X -6=0
8. 3X^2 -12X +9=0
9. 24X^2 +55X-24=0
10. 12X^2 — 45X -12=0
11.8X^2 — 28X +12=0
12.12X^2 -48=0
13.2X^2 -11X +9=0
14.14X^2 -27X +9=0
15.5X^2 -37X +14=0
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Десятичный логарифм
Значение логарифмов и